Mathe Problem

[blennitom]

HI@ all,

heute mal eine Frage an alle Mathe-Checker:

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Ungleichung:

ln(kx) <= (kx)-1 mit k>0 und x>0

<= soll kleiner gleich heißen, ln ist der natürliche Logarithmus

Brauch das für ein Referat, nur komme ich irgendwie nicht drauf.

Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte!!

Habs schon mit Substitution, umstellen und und und versucht

Achja, am besten mit Lösungsweg

 

[Zarathustra]

Ich weiß nicht, ob ich so auf die Schnelle nichts übersehen habe, und ob dieses Herumgerechne den Ansprüchen eines mathematischen Beweises genügt, aber ich werde es dennoch mal hier zum besten geben:

kx := y
ln := z

Mit

ln = z
<=>
e^z = y

läßt sich dann schreiben

z <= e^z - 1
<=>
z + 1 <= e^z

Eliminieren wir die Potenz z erhalten wir

(z + 1)^(1/z) <= e

Setzen wir nun die Ausgangsbezeichnungen wieder ein, so erhalten wir

(ln + 1)^(1/ln) <= e

Da der linke Ausdruck auf beiden Seiten gegen 1 strebt

(mit f := (ln + 1)^(1/ln) hat man
lim(f), y -> 0 = 1
und
lim(f), y -> [/unendlich] = 1)

und da

e = 2,718...

sollte die Ungleichung bewiesen sein. Denke ich mal. Wenn jemand Fehler entdeckt oder sonstwas daran auszusetzen hat - nur zu, ich lerne gerne.

Edit: Vorzeichenfehler korrigiert.

 

[blennitom]

Original geschrieben von Zarathustra
Da der linke Ausdruck auf beiden Seiten gegen 1 strebt

(mit f := (ln + 1)^(1/ln) hat man
lim(f), y -> 0 = 1
und
lim(f), y -> [/unendlich] = 1)

und da

e = 2,718...

sollte die Ungleichung bewiesen sein. Denke ich mal. Wenn jemand Fehler entdeckt oder sonstwas daran auszusetzen hat - nur zu, ich lerne gerne.

Kann man so nicht sagen, weil du ja nur die Randbereiche der Funktion betrachtest, aber nicht, was dazwischen passiert