OK, hier scheint noch ein Missverständnis zu existieren, da du Umtauschanbieter und Coin-Börsen nebeneinander nennst.
Eine Bitcoin-Börse ist nichts weiter als ein Handelsplatz, wie eine Aktienbörse, auf dem mit dem Bitcoin-Wert gegen Euro oder USD spekuliert wird. Eine Bitcoin-Börse ist die Hauptschnittstelle zwischen Bitcoins und Altcoins sowie den Fiatwährungen. Durch die Kurse an den Börsen wird quasi der Wert von Bitcoins ggüber Euro bestimmt. Mit dem eigentlichen "Betrieb" des Bitcoin-Netzwerks haben die Börsen aber absolut nichts zu tun.
Dein einzig nötiger Einstieg ist entweder, irgendwie Coins zu generieren oder Euro in Coins umzutauschen. Wenn du umtauschen willst, kann das auf einer Börse sein, das kann ein spezieller Anbieter sein, der nur umtauscht und nicht als Spekulationsmarktplatz dient oder das kann ein Kumpel sein, der dir Coins schickt und du schickst ihm per Paypal Geld zu einem Kurs, den ihr unter euch ausmacht.
Sobald du den offiziellen Client installiert hast und eine Möglichkeit hast, Adressen zu generieren, kannst du Coins - woher auch immer - empfangen und versenden und bist vollwertiger Teilnehmer des Netzwerks, wie jeder Anbieter und jede Börse auch.
Das Netzwerk lebt einzig und allein in der "Blockchain". Das ist ein Datenkonstrukt, welches aus verketteten Blöcken besteht und das z.B. der offizielle Bitcoin-Client komplett runterlädt von anderen Clients. Das Ganze ist dezentral, d.h. es gibt keine zentrale Stelle, an der die Blockchain "verwaltet" wird. Neue Blöcke werden von den Minern erzeugt und erst in die Blockchain aufgenommen, wenn Konsens darüber besteht, dass der Block gültig ist. In einem Block sind die ganzen Transaktionen im Netzwerk seit dem letzten Block fest "einzementiert". Ein Block wird ca. alle 10 Minuten gefunden und bringt den Minern außerdem 25 Coins ein, plus die ganzen Gebühren der Transaktionen, die in dem Block enthalten sind.
Um zu verstehen, wie Transaktionen dezentral funktionieren, muss man ein bisschen "um die Ecke" denken. Coins werden an jemanden "verschickt", indem der Absender eine Botschaft mit seinem private key signiert, die praktisch aussagt "Ich sende 2 meiner Coins an den public key des Empfängers". Diese Botschaft wird ggf. mit weiteren Botschaften in eine Transaktion gepackt und in das Netzwerk übermittelt. Damit weiß das Netzwerk, dass der Absender jetzt 2 Coins weniger hat und der Empfänger 2 Coins mehr. Wirklich gültig ist diese Transaktion aber erst, wenn die Miner sie quasi in einen Block zementiert haben und der Block bestätigt wurde.
Um zu überprüfen, ob der Absender auch tatsächlich 2 Coins zum verschicken hat, wird die Blockchain komplett von Anfang an einmal "durchgerechnet" und geschaut, ob am Ende beim public key des Absender mindestens 2 Coins angekommen sind. Nur dadurch funktioniert das Ganze.
Die Coins, die du "hast", sind nicht auf deinem Rechner irgendwie gespeichert, sondern dein "Guthaben" bestimmt sich allein dadurch, dass in der global einzigartigen Blockchain irgendwo drinsteht, dass du irgendwann mal x Coins bekommen hast. Und ausgeben kannst du die Coins wie gesagt, indem dein Client eine Transaktion generiert, die aussagt "2 meiner Coins gehen an public key xyz", worauf das Netzwerk dann anhand der Historie überprüft, ob du die Coins überhaupt hast und dem Empfänger dann in einem Block "zurechnet".
Das bedeutet auch, dass dein Client dein Guthaben dadurch bestimmt, dass er die komplette Blockchain einmal durchgeht und guckt, wieviele Coins jede der Adressen, die er kennt, jemals erhalten haben.
Das Netzwerk funktioniert also komplett dezentral nur mit Technik, ohne irgendwelche Anbieter oder Börsen, und du kannst von zu Hause aus genauso Coins versenden und empfangen, wie das jeder Anbieter auch macht.
Edit: Die Coins "besitzt" derjenige, der gültige Transaktionen generieren kann, d.h. der den private key besitzt, egal wo das Wallet existiert. Wem der private key einmal bekannt ist, kann auf ewig Guthaben von der entsprechenden Adresse wegtransferieren. Deswegen ist es so wichtig, dass der Key nur lokal generiert wird und am besten lokal noch extra verschlüsselt ist, d.h. Wallet verschlüsseln und am besten noch in einem Truecrypt-Container lagern. Ganz wichtig an der Stelle natürlich auch, dass das OS auf keinen Fall Trojaner u.ä. enthält. Bitcoin-Wallets sind eines der lohnendsten Hauptziele von Malware.
