[MATHE] Integralrechnung - Verständnisfragen

[Racer5495]

Hallo zusammen,

da meine Mathematikklausur in der nächsten Woche ansteht, möchte ich einmal ein paar Fragen loswerden, auf die ich bisher noch keine Antworten bekommen haben.
Es geht um das Thema Integralrechnung. Sprich die Flächenberechnung zwischen einer Funktion und der X-Ache. Oder um die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen.
Vielleicht ist ja jemand noch in dem Thema halbwegs fit, sodass er mir helfen kann.

Gegeben sei z.B. die Funktion f(x)= 4x³+8x²-16x+22

1. Frage:
Wenn nun der Flächeninhalt berechnet werden soll, muss dann unbedingt vor der Integralbildung die Funktion mit der Polynomdivision behandelt werden?
Ich habe einige Aufgaben gesehen, die es teils unterschiedlich angehen. Meine Frage nochmal in Kurz: Muss vor der Integralbildung immer die Funktion nach dem Schema f(x)=x²+px+q vorliegen?
Bitte um eine Erklärung ohne den "Umweg" über die Substitution.

2. Frage:
Wie sieht es aus, wenn zur Integralbildung keine Grenzen des Intervalls vorgegeben sind. Also die obere und die untere Grenze? Müssen dann nicht die Nullstellen berechnet werden?

Spontarn fallen mir keine weiteren mehr ein. Wenn ich nochmal welche habe, werde ich sie euch hier stellen

Dann hoffe ich mal, dass ich hier hilfreiche Antworten bekommen werden. Danke schonmal!

mfg
Racer5495

 

[Gubb3L]

Zu 1. Muss ich nochmal kurz drüber nachdenken. Ist schon etwas her Da keiner mehr von mir den Lösungsweg haben will kann ich das zum glück immer nur in den rechner eintippen.

2. Kommt auf dei Aufgabenstellung an aber in der Regel ist es so. Erkennt man aber rellativ einfach an der Aufgabenstellung.
Generell solltest du aber in allen Fällen die Nullstellen bestimmen oder zumindest eingrenzen das das Integral an keiner Stelle innerhalb des Betrachtungsbereiches negativ ist, da du sonst falsche Ergebnisse erhältst.

 

[Racer5495]

Ah, ok.
Das mit dem falschen Ergebnis hab ich mal gehört. Das hatte irgendwas mit den Betragsstichen auf sich, sodass der Betrag eine Positive Fläche ergibt, auch wenn diese unterhalb der X-Achse liegt.

 

[BuxxDeHude]

Die grenzen sind entweder Nullstellen bei einer Funktion oder die Schnittpunkte zweier Graphen bei zwei Funktionen.

Wenn man es nicht ablesen kann, dann muss das ausgerechnet werden.

Integrieren kannst du immer, auch ohne Polynomdivision.
Berichtigt mich wenn ich falsch liege.

 

[Gubb3L]

Das Problem ist, dass nehmen wir an der graph verläuft zunächst positiv, dann negativ und wieder postitiv auf die lage in bezug auf die x achse bezogen. Also er ist zunächst über der x achse, dann darunter und dann wieder darüber.
Wenn du jetzt einfach stumpf rechnest ohne dies zu betrachten wird das ergebnis verfälscht da der negative abschnitt von den andern abgezogen wird und somit die gesamtfläche verringert wird. Du musst also die bereiche alle einzeln betrachten bzw. den negativen abschnitt vom vorzeichen her negativieren.

Und hier der ultimative kostenlose Nachhilfecouch:
https://oberprima.com/mathematik/integralrechnung/

Hat meiner Schwester bei ihrem Abi sehr gut geholfen und ich hab da auch gelegentlich mal reingeschaut wobei ich Mathe LK hatte und das mir eh relativ leicht gefallen ist.

 

[BadSanta]

0. Gehört in den Hausaufgaben-Thread
1. Die Form der Funktion ist völlig egal, solang du sie integrieren kannst. Jedewede Umformungen ändern ja am Verlauf der Funktion nichts und entsprechend bleibt auch die Fläche immer gleich. Ganz hilfreich ist dafür Wolfram Alpha, was die das Integral berechnet, zeichnet und das unbestimmte Integral bildet: integrate 4x³+8x²-16x+22 dx from x=0 to 10 - Wolfram|Alpha
2. anwendungsabhängig

 

[Lumpy]

Zuerst musst du die Nullstellen der Funktion berechnen, damit du sagen kannst, wann du die Fläche im positiven und wann im negativen berechnest. Das kannst du einfach mit einem Taschenrechner machen. Wenn dieser nicht erlaubt ist, dann musst du eine Polynomdivision durchführen, um eine quadratische Funktion zu erhalten, die du dann mittels p-q-Formel lösen kannst. Hierfür brauchst du aber zunächst eine Nullstelle, die man ohne Taschenrechner durch Probieren herausfinden muss. In der Schule liegt diese, der Einfachheit wegen, meist zwischen -2 und 2.
Danach kannst du integrieren in den Bereichen deiner Nullstellen. Die Beträge (!!!) der Einzelergebnisse addierst du dann, um die Gesamtfläche zu erhalten.

Hierzu ist es auch hilfreich, die Funktion zu skizzieren, z.B. mit Taschenrechner oder manuell durch eine Wertetabelle. So kannst du ganz genau bestimmen, wann der Graph oberhalb der Abszisse verläuft und wann unterhalb.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

 

[Racer5495]

Hallo nochmal,

danke für die zahlreichen Antworten. Mir ist jetzt schon einiges klarer. Ich werde nochmal ein bisschen intensiver mich mit dem Thema beschäftigen. Wenn nochmal Fragen aufkommen, melde ich mich nochmal.

Andere Frage: Wo ist das Hausaufgaben Topic?

mfg
Racer5495

 

[BadSanta]

http://www.hardwareluxx.de/community/f19/der-hausaufgaben-thread-615264-94.html