Also ohne nomodeset hast du jedenfalls auch keinen Zugriff auf's Internet.
Das unterstützt xenial aber definitiv - scheint ein Problem mit Mint zu sein, aber normal basiert ja das Mint auf Ubuntu xenial...
Hier habe ich etwas vielversprechendes gefunden:
Dazu braucht man ssh(muss vorher installiert sein):
und müsste sich dann zum Beispiel mit Putty, wie maxpowers, oder von einem Linuxrechner per SSH einloggen, und die angegebenen Befehle ausführen. Danach sollte man den PC in Bereitschaft versetzen können und wieder aktivieren können - allerdings wird kein Herunterfahren funktionieren. Laut dem Bugreport ist Ubuntu ab Kernel 4.4 inkompatibel mit manchen Grafikkarten oder Systemkombinationen geworden. Da steht aber auch, dass es mit Debian laufen könnte. Eventuell geht die Mint Debian Edition.(LMDE)
Edit: Was der Workaround genau macht: Er unterbindet nicht das modesetting, sondern verhindert den Start von radeon. Dann wird der Rechner in Bereitschaft versetzt und wieder aufgeweckt(das scheint irgendwie der Schlüssel zu sein). Danach wird der Dektopmanager über einen anderen Rechner abgeschaltet, der Radeontreiber geladen und der Desktopmanager wieder gestartet.
Edit2: Eine andere Möglichkeit wäre, Ubuntu 14.04(Support bis 2019) oder eine darauf basierende Distribution zu benutzen und dann fglrx zu installieren. Das größte Problem ist, dass es wenige Informationen zum Problem gibt. Es existiert wohl seit irgendeinem 3.XX- Kernel, aber es hat sich anscheinend, außer ganz wenigen, nie jemand die Mühe gemacht, das Problem zu melden, sondern einfach per nomodeset gestartet und FGLRX benutzt. Erst seit Ubuntu 16.04, als das dann nicht mehr ging, haben sich ein paar Leute gemeldet... Offensichtlich wird jetzt versucht, das irgendwie aufzurollen, aber es scheint extrem kompliziert zu sein.