Aber sollte das nicht automatisch durch der FritzBox passieren.
Nein, deine Fritzbox verteilt gar nichts aktiv. Deine Geräte fragen die Fritzbox nach den Daten. Wenn die nicht fragen, kriegen die auch keine neuen Daten.
Wann dein PC neue Daten via DHCP anfordert, hängt davon ab, wie lange deine DHCP-Daten gültig sind (DHCP lease time). Das setzt man im LAN oft relativ hoch, weil man idR will, das die selben Geräte auch wenn sie mal 2 Tage nicht im Netzwerk waren, trotzdem wieder die gleiche IP-Adressen kriegen.
Du kannst deinen PC aber zwingen neue DHCP-Daten anzufordern:
1) PC neustarten
2) Netzwerkkabel kurz aus und wieder einstecken
3) Netzwerkkarte kurz deaktivineren, dann wieder aktivieren.
4) auf der Konsole einfach "ipconfig /renew" eingeben.
Was deinen Server betrifft: Sollte der überhaupt auf DHCP eingestellt sein (was man bei Servern oft ja nicht tut), dann siehe oben. Wenn er nicht DHCP eingestellt hat, kriegt er von der Fritzbox sowieso nichts, dann MUSST du das beim Server auch manuell einstellen.