Sorry aber das muss ich noch mal rausholen.
Was meinst du denn damit, dass "3% auf 10 Jahre (~)35% sind und nicht 10*1,03=30%?"?
Die verwendete Formel berechnet doch den Zinseszins (Annuität, nachschüssig) und ist mathematisch völlig korrekt? Ist doch keine "alternative" Rechnung sondern die einfachste für ein derartiges Szenario?
Ich weiß jetzt nicht, ob da schon wer drauf eingegangen ist.
Zinsen fallen in der Regel jährlich an. Genauso ist es auch bei der Inflation.
Am Anfang des 1. Jahres hat man 100%. Am Anfang des 2. Jahres hat man 1*1,03=103%.
D.h. die 103% im 2. Jahr, sind dann die Ausgangbasis für das fortlaufende 2. Jahr.
Jetzt fangen wir mal an zu rechnen:
Wir investieren 100EUR.
1. Jahr Ausgangsbasis 100EUR:
100EUR*103%=103EUR
2. Jahr Ausgangsbasis 103EUR:
103EUR*103%=106,09EUR
3. Jahr Ausgangsbasis 106,09EUR:
106,09EUR*103%=109,2727EUR
4. Jahr Ausgangsbasis 109,2727EUR:
109,2727EUR*103%=112,550881EUR
5. Jahr Ausgangsbasis 112,550881EUR:
112,550881EUR*103% = 115,92740743EUR
6. Jahr Ausgangsbasis 115,92740743EUR:
115,92740743EUR*103% = 119,4052296529EUR
7. Jahr Ausgangsbasis 119,4052296529EUR:
119,4052296529EUR*103% = 122,987386542487EUR
8. Jahr Ausgangsbasis 122,987386542487EUR
122,987386542487EUR*103% = 126,67700813876161EUR
9. Jahr Ausgangsbasis 126,67700813876161EUR:
126,67700813876161EUR*103% =130,4773183829244583EUR
9. Jahr Ausgangsbasis 130,4773183829244583EUR
130,4773183829244583EUR*103% = 134,391637934412192049EUR
Nach 10 Jahren sind aus 100EUR 134,39EUR geworden. (also ~35%)
100*1,03^10=134,39EUR
100*(1+0,03*10)=130,00EUR
D.h. beide Rechnungen sind nicht äquivalent. Es gibt als einen Unterschied von ~5EUR bzw. in dem Fall ~5%.(meine Rundung aus der initialen Rechnung, wegen der vereinfachten Weiterrechnung)
Die absolute Abweichung wird dann stärker, je höher der Betrag ist und vor allem, je länger das Spiel geht.
Auf 20 Jahre:
100*1,03^20=180,39EUR
100*(1+0,03*20)=160,00EUR
Also 80% zu 60%. Das ist also schon merklich. Wenn es noch länger wird, wirds halt absurd.
100*(1+0,03*10) berücksichtigt nur die initialen 100EUR und eben nicht, dass es jedes Jahr eine neue Ausgangsbasis gibt. Das wäre so, als wenn es 3%Zinsen gibt, aber nicht jährlich ausgezahlt wird, sondern nur 1x nach 10Jahren. Es gibt also keinen Zinseszinseffekt.
100*1,03^10=100*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03*1,03
kann man auch so schreiben:
((((((((((100*1,03)*1,03)*1,03)*1,03)*1,03)*1,03)*1,03)*1,03)*1,03)*1,03)
Jede Klammer kann man als 1 Jahr sehen.
1.(100*1,03)
2.((100*1,03)*1,03)
3.(((100*1,03)*1,03)*1,03)
usw.
Das ist der Zinseszinseffekt.
Komplexer wird es dann, wenn eine Bank z.B. Quartalsweise auszahlt.
Dann hat man auch innerhalb eines Jahres einen Zinseszinseffekt.
Daher ist es eben nicht korrekt 1+0,03*10 (bzw. 10*3%=30%) zu rechnen, wenn es um Zinseszinseffekt geht.
Das ist ja auch der Grund, warum Hauskredite am Ende auch "mal" das doppelte und mehr des Darlehnsbetrages bedeuten.
Es ist also beim Konto noch ganz lustig, wenn man sich da vertut. Beim Kredit hingegen sind das wirklich merkliche Beträge, die da den Unterschied machen.
Daher ja auch der Aufreger (der in meinem Fall unangebracht war) von
@2k5lexi und
@Tundor , dass man das mit Exponent und nicht mit Multiplikation rechnen muss. Das mag bei 1;2;3 Jahren und 1k EUR nicht auffallen. Wie schon gesagt, bei langen oder gar sehr langen Zeiträumen (sagen wir bis zur Rente) und entsprechend hohen Beträgen (sagen wir einfach nur mal 200EUR jeden Monat aufs Sparkonto) entstehen am Ende sehr hohe Abweichungen. Während das beim Sparen ein netter Wow-Effekt sein mag (plötzlich mehr als gedacht), ist das beim Kredit eine Sache, die dazu führen kann, dass man sich den Kredit eigentlich gar nicht leisten könnte.
PS: Gibt aber auf Youtube bestimmt Mathekanäle, die das nochmal plastischer darstellen können, als ich hier mit der wall of text.
PPS: Daher gibt es bei diesen Zinsspielen auch einen effektiven Zinssatz. Der beinhaltet neben den Zinseszinseffekten bei Kredit halt auch noch Tilgung usw.
EDIT: Daher auch das "" bei "alternativer" Rechnung. Sie ist eben nicht alternativ, sie ist sogar gänzlich falsch und darf daher nicht angewandt werden. Außer evtl. bei sehr kurzen Zeiträumen zum groben Überschlag.
"Ich lege 1000EUR auf 5 Jahre bei 3% an, was bekomme ich raus?"
Korrekt wären es 1160EUR.
Vereinfacht wären es 1150EUR.
Da kann man das so rechnen. Aber wie gesagt, je höher der Betrag und vor allem der Zeitraum ist, desto größer die Abweichung bzw. desto falscher wird die falsche Rechnung.
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