Der Hausaufgaben Thread

[Chop91]

Hat jemand eine Idee wie ich folgendes beweisen kann?

 

[Autokiller677]

Ich bin nicht sicher, aber würde eine Fallunterscheidung bzw. Unterscheidung in Teilfolgen für an<0 und >=0 probieren.

 

[fl0]

lim a_n = a heisst |a_n - a| < eps für blabla definitionskram halt.
lim |a_n| = |a| bedeutet dann ||a_n| - |a|| < eps
mit der dreiecksungleichung hat man ||a_n| - |a|| <= |a_n - a| und das ist ja das was in der ersten zeile steht, also < eps, also ist man fertig. bist du neu im studium?

also ich frage weil meines wissens im moment vorlesungsfreie zeit ist, nicht weil die aufgabe relativ einfach war und ich herablassend oder so bin

 

[Chop91]

Bei mir ging gerade das 2. Semester los und das ist meine erste Mathe Lehrveranstaltung :P

 

[herrhannes]

also ich frage weil meines wissens im moment vorlesungsfreie zeit ist, nicht weil die aufgabe relativ einfach war und ich herablassend oder so bin

Sag bloß, du bist einer der Glücklichen, bei denen "Vorlesungsfreie Zeit" auch wirklich "Uni-freie Zeit" ist

 

[fl0]

Bei mir ging gerade das 2. Semester los und das ist meine erste Mathe Lehrveranstaltung :P

ah okay. wenn du fragen hast kannst du die weiter hier stellen. ich habe letztes semester eine übungsgruppe für die mathestudenten im ersten semester betreut, vielleicht kann ich dir ja helfen, wenns weiterhin um analysis geht.

Sag bloß, du bist einer der Glücklichen, bei denen "Vorlesungsfreie Zeit" auch wirklich "Uni-freie Zeit" ist

ich bin nie in der uni (ausser wenn ich dort arbeiten muss, was dieses semester nicht der fall ist )

 

[Chop91]

danke

Ich hab 2 Lehrveranstaltungen: Analysis und Algebra+Diskrete Mathematik :P

 

[Autokiller677]

Jetzt weiß ich wieder wieso ich Mathe 3,3 geschrieben hab Dummes Epsilon, ich hasse Beweise mit dem Teil.

 

[TheFrozen]

Kann mir jemand erklären wie bei (2) Xb=vo*tb-1/2*a*t^2 in xb=1/2v0*tb umgeformt werden kann? wenn irgendwelche buchstaben nicht klar sind bitte melden.

edit:// hat sich soeben erledigt, danke trotzdem

 

[fl0]

Jetzt weiß ich wieder wieso ich Mathe 3,3 geschrieben hab Dummes Epsilon, ich hasse Beweise mit dem Teil.

das bedeutet doch bloß dass etwas beliebig klein wird, wenns vom betrag her kleiner epsilon ist. und wenn die differenz von folge und grenzwert vom betrag her kleiner epsilon werden, dann ist klar dass die folge beliebig nahe an ihren grenzwert kommt. für werte ungleich dem grenzwert ist das nicht der fall, zumindest nicht für beliebig kleines epsilon. durch das abziehen des grenzwertes von der folge selber, macht man ja eine nullfolge daraus und die kommt eben beliebig nahe an die null ran.
auch der abstand der folgeglieder selber muss beliebig klein werden, was logisch ist, weil sie sich dem selben grenzwert annähern. das ist das sogenannte cauchy kriterium. damit kann man folgen auf konvergenz untersuchen, ohne dass man den grenzwert vorher kennen muss. oft hat man komplexe folgen bei denen nicht ersichtlich ist, ob sie konvergieren und gegen was. da auf den komplexen zahlen keine ordnungsrelation besteht, kann man auch nicht einfach simple majo- oder minoranten finden. da ist es sehr viel bequemer zu schauen ob der abstand der folgeglieder nicht zb. konstant ist (was eigentlich der trick jeder dieser übungsaufgaben ist ).

 

[Autokiller677]

Das Prinzip versteh ich schon, eigentlich ist es ziemlich genial, besonders epsilon-delta Stetigkeit finde ich eine sehr elegante Lösung. Aber irgendwie sitz ich bei so Dingern immer davor und frage mich wie ich jetzt anfangen soll Naja in den Klausuren müssen wir mehr rechnen, daher kommts hin.

 

[fl0]

naja, eine "lösung" ist das nicht unbedingt. das ist mathematisch ausgedrückt dass man die linie des funktionsgraphen am stück zeichnen kann. einfach weil zwei funktionswerte beliebig nah aneinanderliegen. an einer sprungstelle geht das nicht, das verletzt eben die definition der stetigkeit.

mathematiker sind schon unheimlich. wenn man sich mal überlegt dass die natur da draussen keine mathematik enthält und wir nur ein modell erschaffen haben um zu verstehen was vor sich geht. und dann werden so sachen wie die determinante definiert, die scheinbar willkürliche eigenschaften hat und trotzdem soviel sinn ergibt.

 

[danslecarton]

Ist n-r Spalten = dim ker der Matrix?

 

[fl0]

n = dim bild + dim kern. wenn du das umstellst hast du das. also ja, n-r ist dim kern

 

[danslecarton]

Danke
Nächste Frage!
Ist (A+B)^T = A^T + B^T?
A und B sind jeweils n x n Matrizen und ^T bedeutet, dass diese transponiert sind.

edit: ja

 

[fl0]

(AoB)^T = B^T o A^T, gilt allgemein, aber wie du geschrieben hast braucht man bei der addition die reihenfolge nicht immer umdrehen, weil die addition kommutativ ist. aber bei der multiplikation muss man aufpassen.

hab mal das fragezeichen weggemacht, das wollte ich da garnicht stehen haben. pothead for life

 

[Chop91]

Kurze Frage zum Konvergenzradius:

R = 1/lim|a_n+1/a_n|

wenn mir jetzt für das Quotientenkriterium 1 als Grenzwert rauskommt, passt das dann trotzdem?
Es gilt ja:
> 1 - divergent
< 1 - konvergent
= 1 oder existiert nicht - keine Aussage möglich

ist das beim Konvergenzradius irrelevant?

 

[Autokiller677]

Soweit ich verstehe ist dein Radius 1? Dann ist es egal. Der Radius hat nichts mit den Konvergenzbedingungen des Kriteriums zu tun, er gibt nur an für welche x (eben die aus dem Radius) die Folge das Kriterium erfüllt.

Heißt, wenn du einen Wert aus dem Konvergenzradius für x einsetzt, muss das Quotkrit <=1 liefern. Der Radius kann aber auch 10, 50 oder nur 0,2 sein.

 

[Chop91]

Naja bei mir wird R = 1/lim|a_n+1/a_n| zu R = 1/1 = 1
heißt mir ist egal wohin lim|a_n+1/a_n| konvergiert?
ich dachte halt, dass das Quotientenkriterium auch erfüllt sein sollte, in unserem tollen Buch steht mal wieder nichts dazu

Das wäre mein Lösungsweg:

(wobei das Intervall (-2,2) statt (0,2) sein sollte)

bin ich damit dann nicht schon fertig?
weil ein Kollege irgendwie noch 2 Kriterien anwendet und auf Monotonie prüft..

 

[Autokiller677]

Mit dem Ansatz (Anhang) habe ich es im 1. Semester gelernt.

Der Konvergenzradius ist wie folgt definiert (gerade nochmal im Bronstein nachgeschaut): ....Potenzreihe konvergiert, wenn ... es eine Zahl p>0 gibt, für die gilt |x-x0|<p.

Wobei die Reihe wie folgt definiert ist: Summe(an*(x-x0)^n).

Somit ist dein |x-1|<=1 schon der Konvergenzradius. Der ist im übrigen immer symetrisch, sowas wie (0|2) kann man nicht bekommen.

Wenn das Intervall (-2|2) sein soll, machst du wahrscheinlich beim lim was falsch.

Eine Prüfung auf Monotonie ist bei Anwendung des Kriteriums nicht erforderlich. Vor allem sagt es über die Konvergenz der Reihe eh nix aus, Summe(1/n*(-1)^n) konvergiert auch (Nullfolge+Leibniz) und ist nicht monoton.

Fertig bist du noch nicht, du musst noch die Grenzen prüfen, also ob das immernoch konvergiert, wenn du für x explizit -2 und 2 einsetzt. Dann kannst du die Aussage machen ob |x-1|<= oder nur < 2 sein muss.

EDIT: Ich komme quick & dirty auch auf lim(...)=1. Ist das eine Musterlösung oder nur Ergebnisse von Kollegen?

EDIT2: Wolfram sagt auch |x-1|<1 (Grenzen sind offenbar draußen). R=2 zweifle ich daher an.

 

[fl0]

Kurze Frage zum Konvergenzradius:

R = 1/lim|a_n+1/a_n|

wenn mir jetzt für das Quotientenkriterium 1 als Grenzwert rauskommt, passt das dann trotzdem?
Es gilt ja:
> 1 - divergent
< 1 - konvergent
= 1 oder existiert nicht - keine Aussage möglich

ist das beim Konvergenzradius irrelevant?

ich weiss nicht wie ihr die beiden kriterien eingeführt habt, aber im grunde zeigst du mit den kriterien nur dass eine reihe konvergiert, indem du die geometrische reihe als konvergente majorante angibst (falls ihr das anders gemacht habt und du meinst es würde dir zum verständnis helfen, kann ich dir die beweise hier nachreichen, das sind beides einzeiler). daher kommt es übrigens dass <1 gelten muss, denn nur dann konvergiert die geometrische reihe.
das heisst die kriterien machen nur eine aussage ob etwas konvergiert, nicht in welchem bereich oder welchen wert die reihe schlußendlich hat.
der radius R in welchem die reihe konvergiert, wird nach cauchy-hadamard dann "passend" definiert. aber der radius hat mit der konvergenz nichts zu tun, es gibt reihen die haben unendlichen radius, konvergieren also überall. und wie du schon gesagt hast, auf dem rand des radius kann man keine allgemeine aussage treffen. im reellen kann man die ränder des intervalls einsetzten und schauen was passiert. im komplexen kann man das genauso machen, aber auch nur für einzelne stellen. mir ist keine bessere möglichkeit bekannt und ich denke es gibt auch keine. zumindest keine allgemeine. ums nochmal kurz zu machen, du musst den unterschied zwischen "untersuche OB die reihe konvergiert" und "untersuche WO die reihe konvergiert" erkennen. und schreib lim sup, wenn du den limes superior meinst. denn den brauchst du hier.

 

[Chop91]

@Autokiller677
Musterlösungen
davon kannst du an unserer Uni nur träumen, gerade dass sie die zu lösenden Aufgaben rausrücken^^

wobei mir wolframalpha für |x-1|<1 doch (0,2) gibt^^
wenn ichs umforme |x|<2 (-2,2)

@fl0
Naja eingeführt wurde wenig, weil etwa 50% der Vorlesungen bis jetzt ausfielen
Über die beweise wär ich dankbar

bei den Beispielen wo ich gefunden hab stand überall lim statt limsup

Naja ich hab 1 Aufgabe da soll ich zeigen, dass eine Funktionsreihe in C konvergiert.
Mir kommt ein Radius von unendlich raus, damit sollte ich hier fertig sein.

Beim anderen (Bsp 96 von oben) für welche x element von R die Funktionsreihe konvergiert.
Irgendwie hab ich nach längerem Nachdenken absolut kein Plan mehr wie ich das lösen soll.
Irgendwie krieg ich auch verschiedene Intervalle für |x-1|<1 raus

 

[Chop91]

Stimmt der Lösungsweg doch?


wolframalpha sagt mir doch auch x element von (0,2)?

 

[Autokiller677]

Ja, x ist aus (0|2). NICHT (-2|2). Wenn du z.B. -2 einsetzt ist |-2-1|=3 und somit nicht kleiner als 1. Hier mit den Beträgen aufpassen.

Klar kommt x aus 0,2. Aber der Konvergenzradius ist immer symetrisch (also z.B. R=1, bedeutet, dass (x-x0) zwischen -1 und 1 liegt) und, wie ich oben aus dem Bronstein gepostet hab, wird das Formal mit |x-x0|<p angegeben. Wenn du nur R=1 hast, musst du halt wissen, dass damit gemeint ist, dass in der Reihe das (x-x0) zwischen -1 und 1 liegen muss. Was du dann für x einsetzt, musst du dir dann halt durch umformen überlegen.

Du musst halt zwischen Konvergenzradius und Werten für x unterscheiden. Wenn da nur x^n steht, ohne x0, ist es dasselbe. Sonst nicht.

Musterlösungen gibts bei uns auch nur für die Tutoren Aber nach der Besprechung der Übung hat man die dann halt auch wenn man mitgepinnt hat.

 

[Chop91]

das Intervall (-2,2) kam mir gestern auch erst in den Sinn, als ich schon zu blöd war einen Doppelbruch aufzulösen
Hab erst nach 1h rumprobieren gemerkt, dass ich immer falsch auflöse und es deswegen nicht stimmt ^^

Jetzt muss ich eigentlich nur noch für 0 und 2 Konvergenz zeigen.
wobei ich mich frage ob ich das für 2 wirklich zeigen müsste

weil ich habe ja
|x-1|< R
|x-1|< 1
|x|< 2
steht doch schon da, dass 2 nicht zum Intervall gehört?

 

[Autokiller677]

Das Quotkrit sagt für =1 nichts aus, also kann es konvergieren oder halt nicht. D.h. wenn du als Ansatz mit <= anfängst, deckst du alle Möglichkeiten ab, erhälst aber auch |x-1|<=1.
Da es für 1 nicht gewiss ist, ob die Reihe konvergiert, musst du die Grenzen noch gesondert prüfen, um alles abzudecken.

 

[Chop91]

ok und wenn für das Quotientenkriterium < 1 rauskommen würde, kann ich mir dann das überprüfen von den Randpunkten sparen?

 

[Autokiller677]

Naja, du hast ja links bei einer Potenzreihe immer ein x stehen. Je nachdem wie du das wählst, kannst du immer auf 1 kommen. Wenn du nur absolute Konvergenz willst (also Quotkrit <1 nicht <=1) dann musst du die Ränder nicht prüfen.

Wenn dir die Randpunkte nicht wichtig sind (größerer Zusammenhang in einer Aufgabe, du musst nur wissen obs für x=0,5 hinkommt oder so) dann kannst du es dir natürlich sparen.

 

[Chop91]

meinst du hiermit "Je nachdem wie du das wählst, kannst du immer auf 1 kommen." schon den Radius?

"Wenn du nur absolute Konvergenz willst (also Quotkrit <1 nicht <=1) dann musst du die Ränder nicht prüfen."
Aus absoluter Konvergenz folgt doch Konvergenz.
Wenn ich die Ränder nicht prüfe hab ich absolute Konvergenz und was hab ich dann wenn ich sie prüfe?

Ich bin gerade wieder froh, dass ich mich gegen das Mathestudium entschieden hab

 

[Autokiller677]

Ich studier auch nur Physik Mathestudium habe ich auch bewusst ausgelassen

Du hast dann halt einen kleineren Bereich auf dem es konvergiert. Aus absoluter Konvergenz folgt auch Konvergenz, halt auf dem Intervall <1. Wenn du die Grenzen prüfst, kann es sein, dass dein Intervall halt größer wird und die 1 mit einschließt.

Wenn du also die Ränder prüfst hast du für alle x die zu <1 führen abs. Konvergenz, und für die die zu =1 führen Konvergenz (sofern es da überhaupt konvergiert).

Im Grunde zäumt man hier das Pferd etwas von hinten auf: Man wendet ein Konvergenzkriterium an und hat noch eine Variable. Dann wählt man sie so, dass das Kriterium erfüllt ist (oder keine Aussage bringt) um eine Konvergenz der Reihe zu haben.