Die beiden Aufgabenteile haben nicht viel miteinander zu tun. Auch wenn ich die Aufgabenstellung bei der b) ein bisschen ungenau finde. Die oben genannte Rotationsmatrix A_a={{cos a, sin a},{-sin a, cos a}} macht folgendes. Wenn du einen Vektor x in IR^2 hast dann ist x' = A_a * x ein um den Winkel a rotierter Vektor. Zum Ausprobieren kannst du mal a=pi/2 (90°) einsetzen. Ok, wie du vermutlich weißt, ist IR^2 isomorph zu den komplexen Zahlen IC (also im Prinzip das Gleiche), denn die Abbildung f:IR^2-->IC mit f(x,y)=x+iy ist linear und bijektiv. Warum erwähne ich jetzt diesen Zusammenhang? Damit kannst du dir leicht die Matrix A_a herleiten, denn eine Multiplikation im Komplexen ist eine Drehstreckung. Also um eine komplexe Zahl z=x+iy um den Winkel a zu rotieren, rechnen wir (cos a + i sin a)*(x+iy). Daraus ergibt sich obige Form. Und dieser Zusammenhang mit den komplexen Zahlen ist der Einzige zu (a).
Was ist nun ein Eigenvektor/-wert anschaulich? Eigenvektoren v!=0 sind Vektoren, sodass A_a * v = my * v, wobei my der Eigenwert ein Streckungsfaktor ist. Das heißt, wenn ich diesen Vektor um den Winkel a rotiere, kriege ich den gleichen Vektor mit einem Streckungsfaktor my wieder raus.
