< v1,...,vk > = < v1,...,vk, x > <=> x element aus < v1,...,vk >.
Beweis:
Zu 3.:
"=>": Da jeder Erzeuger zu seinem Erzeugnis gehört, hat man hier: x element aus < v1,...,vk, x > = < v1,...,vk >.
"<=": Nach 1. ist bereits eine Teilmengenbeziehung erfüllt; bleibt zu zeigen < v1,...,vk > ist obermenge < v1,...,vk, x >.
Nach Voraussetzung liegt x in < v1,...,vk >, es gibt daher eine Darstellung von x in < v1,...,vk >, etwa:
x = b1v1 + ... + bkvk.
Sei nun y = a1v1 + ... + akvk + ak + 1x ein beliebiger Vektor aus < v1,...,vk, x >. Folgt:
y = a1v1 + ... + akvk + ak + 1(b1v1 + ... + bkvk)
= (a1 + ak + 1b1)v1 + ... + (ak + ak + 1bk)vk
element aus < v1,...,vk >.
kann mir jemand den beweis erklären? es hört schon in der ersten zeile auf bei mir. wenn ich zb. die ersten 4 einheitsvektoren nehme und sage das x zb der vierte ist, dann is mir klar das ich ihn dann mit diesem erzeugniss darstellen kann, aber dewegen kann ich ihn doch net weglassen... also woher kommt diese gleichheit: x element aus < v1,...,vk, x > = < v1,...,vk >
falls mir jemand weiterhelfen kann, gerne auch per pm