so, und weiter gehts ^^
ich brauche zu o.g. Funktion die erste Ableitung, also zu
a(x) = (pi/2) - arctan((m-f) / x) - arctan(x / m)
da arctan(x)' = 1 / (1 + x^2) ist, ergibt sich
a'(x) = -1 / (1 + ((m-f) / x)^2) + -1 / (1 + (x / m)^2)
wenn man dann den Bruch gleichnamig erweitert, erhält man im Zähler
-2 - (x^2 / m^2) - ((m-f)^2 / x^2)
für die Nullstellen setzen wir das gleich 0
-2 - (x^2 / m^2) - ((m-f)^2 / x^2) = 0
machen den Nenner davon gleichnamig und multiplizieren ihn aus, dass er wegfällt und dann kommt raus
x^4 + 2m^2x^2 + m^4 - 2m^3f + m^2f^2 = 0
durch die Substitution y = x^2 können wir dann die p/q Formel benutzen
dort ergibt sich dann für y1/2 = -m^2 [ + / - ] Wurzel [2m^3 - m^2f^2]
durch die Rücküberführung der Substitution ergeben sich dann 4 mögliche Werte, da durch die Quadrierung ja auch negative Zahlen möglich sind
x1/2 = Wurzel [y1] = [ + / - ] Wurzel [-m^2 + Wurzel [2m^3 - m^2f^2]]
x3/4 = Wurzel [y2] = [ + / - ] Wurzel [-m^2 - Wurzel [2m^3 - m^2f^2]]
wenn ich das zur Probe in meine Gleichung oben einsetz, komm ich auch auf 0 raus, also die Rechnung selbst scheint zu stimmen, aber wenn ich es für konkrete Zahlen, z.B. m = 1,7 und f = 0,7 einsetze, ist x1 mein Minimum und x3/4 komplexe Zahlen
vom reinen Verständnis der Aufgabe her machen aber nur positive reelle Zahlen Sinn, da es um eine Distanz in der realen Welt geht und ich suche das Maximum
wenn ich die Aufgabe Brute Force z.B. mit dem Funktionsplotter von Arndt-Brünne durch teste, liegt mein Maximum bei x0=1,3
leider verrät der mir nicht, wie er auf die Nullstellen kommt ^^
edit: auf Wunsch gibts auch noch die komplette Rechnung
(wohl ein unerholsasmes we gehabt, ja?)
