Grüße,
muss mich im Moment gezwungermaßen damit auseinandersetzen (wobei eigentlich macht es mir ja spaß
)
Und zwar, hab gestern damit begonnen mich ins thema DGL´en einzufinden. So - nun hab ich heute auch wieder einige Aufgaben etc gemacht, aber kam bei einer nicht so recht weiter...
und zwar handelt es sich um eine inhomogene DGL 2er Ordnung,
Aufgabe sieht wie folgt aus:
y''(x) - 3 y'(x) + 2 y(x) = sin(x)
um auf die allgemeine Lösung zu kommen muss zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung berechnet werden, soweit ists klar:
Lösungsansatz in der Form y(x) = e^lambda * x
mit Hilfe der Kooeffizenten wird Lambda berechnet
lamda² - 3 * lambda + 2 = 0
nach PQ-Formel oder Quadratischer Ergänzung kommt raus:
lambda1 = 1
lambda2 = 2
demnach ist der Lösung für den homogenen Anteil:
C1 * e^x + C2 * e^2x
Das passt soweit... aber wie berechne ich nun den Anteil für die partikuläre Lösung?
habe einen Ansatz versucht über:
y(x)p = A * sin(x) + B * cos(x)
demnach folgt dann:
y'(x)p = A * cos(x) - B * sin(x)
y''(x)p = - A * sin(x) - B * cos(x)
die jeweiligen Terme für y(x), y'(x) und y''(x) habe ich dann in die komplette DGL eingesetzt und zusammengefasst. Daraus komme ich zu:
- A sin(x) - B cos(x) + 3B sin(x) - 3A cos(x) + 2A sin(x) + 2B cos(x) = sin(x)
zusammengefasst:
(A + 3B) sin(x) + (B-3A) cos (x) = sin(x) + 0 * cos (x)
Daraus lässt sich folgendes Gleichungssystem erstellen
A B
1 3 | 1
-3 1 | 0
ok, hier lag der Fehler - habe a und b beim aufstellen der zweiten Gleichung vertauscht... fiel mir beim tippen auf
Wen es trotzdem interessiert:
A = 1/10, B = 3/10
Demnach folgt:
yp = 1/10 sin(x) + 3/10 cos(x)
Demnach lautet die allgemeine Lösung:
y(x) = C1 * e^x + C2 * e^2x + 1/10 * 1/10 sin(x) + 3/10 cos(x)
Danke fürs Helfen
